Les intégralles permettent d’obtenir l’aire d’une fonction. Et PI est le rapport entre la circonférence du cercle et son rayon, mais nous savons aussi que PI*R² = Aire.
Il suffit donc de prendre la formule du cercle (en réalité le demi-cercle pusique une fonction ne connais que une image pour un X): Y = SQRT(R-X²).
Et d’y calculer son aire entre 0 et 1 pour un demi-cercle de 1 de rayon et de la multiplier par 4 (puisque 0 et 1 ne sont que un quart de cercle), de là nous aurons directement PI (Si R = 1 => PI*R² = PI, PI est donc l’aire du cercle). Les intégrales nous permettent de calculer cette aire.

On peu avoir une estimation d’une intégralle en additionant des échantillon d’aire de la fonction en « testant » la fonction sur plusieurs valeurs de X. Plus nous testons d’échantillons, plus la valeur sera précise : http://files.getwebb.org/index.php?mode=view&id=cre66i0p

Et le code: http://pastebin.com/f447dec0c

On peut voir que l’estimation est beaucoup plus proche de PI, on peut atteindre le même degré de précision avec seulement 100 itérations . Mais ca reste assez lourd à cause de SQRT() (même si 100 itération doivent quand même s’exécuter plus vite que 1000000).

Il existe aussi une fonction beaucoup plus simple mais il ne s’agit pas d’une approximation et le temps de calcul de chaque décimale et relativement exponentielle:
PI = 1 / 1 – 1 / 2 + 1 / 3 …((-1 * (n+1)%2) * 1) / n

@shamaz:
Yeah, I coded it just for fun (and because I don’t have the luxury to throw needles on my parquet all day long ).

@Barry:
Nice one.

I don’t think there is really a « hidden » pi in the method since you can express your sin function without any kind of pi (via series for instance). But, agreed, it’s disputable .

A more interesting method, in a didactic sense, is to estimate the proportion of the area of a circle to the area of its smallest enclosing square. The area of the circle is pi*r*r, while the area of the square is 4*r*r. Dividing one by the other, as estimated by needle drops (x,y) where both x and y are in the domain -r..r and tested with circle equation of x*x+y*y=r*r (>r*r => outside circle), and you have a way of probabilistically estimating pi without any hidden pi in the methodology.

Here’s some sample code:

using System;

class App
{
const int Iter = 1000000;

static void Main()
{
Random r = new Random();
double radius = 0.5;
double radiusSquared = radius * radius;
int hitCount = 0;

for (int i = 0; i < Iter; ++i)
{
double x = r.NextDouble() * radius * 2 – radius;
double y = r.NextDouble() * radius * 2 – radius;
if (x * x + y * y <= radiusSquared)
++hitCount;
}

// area of circle / area of square
// = pi * r * r / 4 * r * r
// = pi / 4
double proportion = hitCount / (double) Iter;
Console.WriteLine(« Pi estimated at {0} », proportion * 4);
}
}